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Categoria: Didattica Matematica
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equazioniBuongiorno, concludiamo il percorso sulle equazioni di primo grado, proponendo una analisi critica (secondo le più recenti metodologie di ricerca didattica) di alcuni esercizi proposti nei due articoli precedenti!

Il presente lavoro si inserisce all'interno di un percorso critico, che fa uso di strumenti e metologie di ricerca didattica, sottolineo che noi insegnanti siamo i primi professionisti della scuola e spetta soprattutto a noi proporre attività innovative, un percorso non viene mai dall'alto, ma va sempre calato in relazione al contesto classe.

Se avete dubbi, volete informazioni ulteriori, volete sperimentare questa attività o proporne di proprie scrivetemi ad Questo indirizzo email è protetto dagli spambots. È necessario abilitare JavaScript per vederlo.

Buona lettura

Analisi di due esercizi proposti
 
Problema 1: in un mese ho speso 35 euro di telefono effettuando 400 minuti di chiamate. Sapendo che il canone fisso mensile è di 10 euro, calcoliamo il costo al minuto di una telefonata.
Questo problema è stato proposto innanzitutto per la sua valenza pratica. I ragazzi sono bombardati tutti i giorni da propagande telefoniche, da confronti tra tariffe, da scelte di piani tariffari, invitarli ad una analisi seria e concreta di un problema reale ci sembra un buon modo per avvicinare i ragazzi alla matematica attraverso il mondo reale.
Question intent
L'obiettivo principale è il saper tradurre  semplici testi del linguaggio comune  in linguaggio simbolico verificare una congettura e provarla
Conoscenze: Saper lavorare sugli insiemi N, Q e R, conoscere i 2 principi di equivalenza delle equazioni
Nucei coinvolti: Numeri e algoritmi, argomentare congetturare e dimostrare
Livello di difficoltà
Analisi esercizio
L'esercizio ha un livello di difficoltà medio-basso.
Sostanzialmente non presenta grosse difficoltà di calcoli nella risoluzione(sebbene la soluzione non sia un numero naturale, ma frazionario)
Più difficile la semplificazione della soluzione finale.
E' un problema che i ragazzi probabilmente si sono trovati già ad affrontare utilizzando il cellulare o parlandone con amici o genitori.
Possibili soluzioni e soluzione attesa
dati =35 euro costo totale, 10 euro canone, 300 i minuti totali
incognita x = costo in euro al minuto
sOLUZIONI ERRATE PROBABILI
35euro=400minuti+10euro
ottenuta da chi non riesce ad individuare l'incognita del problema
35 euro + 400 minuti= 10 euro
Ottenuta da chi pensa che il canone sia il costo totale e traduce letteralmente il problema
35euro+10 euro =400 minuti
ottenuta da chi pensa che i costi totali in euro siano la somma dei costi presenti nel problema
A queste tre formulazione può seguire la x accanto al 400 ma anche la x accanto ai numeri 35 e 10 (errata attribuzione dell'incognita)
Probabilmente le formulazioni ESATTE più frequenti saranno del tipo: 
a.  35€ = 400 min X €/min+ 10 € 
ottenuta da chi traduce direttamente in formula il testo 
b.  35€ -10€ =400 min X €/min 
ottenuta da chi ragiona prima sui costi fissi 
I ragazzi conoscono e hanno applicati  i principi di equivalenza.
L’immagine della bilancia è aderente al modello matematico che enuncia i seguenti “Principi di equivalenza”: 
-  Primo principio di equivalenza: data un'equazione, aggiungendo a entrambi i termini uno stesso numero od una stessa espressione contenente l'incognita si ottiene un'equazione equivalente, a patto che, nel caso di aggiunta di un'espressione dipendente da un'incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza. 
 
Secondo principio di equivalenza: data un'equazione, moltiplicando ambo i termini per un numero diverso da zero, o per un'espressione contenente l'incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell'incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un'equazione equivalente.
Scriviamo l'equazione
35€ = 400 min X €/min + 10 € che dimensionalmente  equivale a  
  35€ = 400 X € + 10 €. 
Per conoscere il valore di x, occorre isolarlo dagli altri termini. 
Togliamo  10€  dal  “piatto”  di  destra  e  per  conservare  il  significato  del  segno  =  dobbiamo 
bilanciare la situazione togliendo 10€ anche dal “piatto” di sinistra, quindi otteniamo la relazione  
(abbiamo applicato il Primo principio di equivalenza) 
 400X=25
Se 400 volte X vale 15 €, quanto vale 1 X IN EURO ?  
Dividiamo  per  400  il  “piatto”  di  destra  e  per  conservare  il  significato  del  segno  =  dobbiamo 
bilaciare la situazione togliendo dividendo per 400 anche il “piatto” di sinistra, quindi otteniamo la 
relazione  25/400€  =  400/400  X  €  (abbiamo  applicato  il  Secondo  principio  di  equivalenza)  e 
abbiamo risposto: 1 X = 1/16 € ovvero x = 0.0625 €, quindi POCO Più DI 6 CENTESIMI AL MINUTO
Spesso si sente dire … Commenti …   
Prendiamo 35 = 400 x+ 10 senza intepretazione del significato del 35 8come euro) questo è un passaggio già al simbolico che prevede  una assenza di controllo dei diversi significati dei numeri (da recuperare alla fine della soluzione)   
portiamo tutti i termini con la "x"a sinistra dell'uguale, e quelli senza la "x"a destra dell'uguale … Affermazione inutile ai fini del calcolo e contraddittoria con il significato di uguale … e tra l'altro perchè per forza la x a sinistra?   
Ricorda la seguente regola: Se un termine passa da una parte all'altra dell'uguale come addendo, il suo segno va cambiato … Nessun termine passa! Abbiamo visto che compiamo la stessa operazione a sinistra e destra del segno = (cioè sottiaiamo membro a membro o aggiungiamo membro a membro) 
PROBLEMA 2
In un numero di due cifre, la cifra delle decine supera di 3 la cifra delle unità. Scambiando le due cifre si ottiene un numero che, sottratto alla cifra iniziale, da come risultato 27. Calcola il numero. (eccellenza)
Question intent
L'obiettivo principale è il saper tradurre  testi del linguaggio comune (anche complessi)  in linguaggio simbolico
Verificare una congettura e provarla
Conoscenze: Saper lavorare sugli insiemi N, Q e R, conoscere i 2 principi di equivalenza delle equazioni, conoscere la scrittura di un numero in termini di unità decine centinaia etc., conoscono e sanno interpretare le possibili soluzioni di una equazione (determinata, indeterminata e impossibile)
Nucei coinvolti: Numeri e algoritmi, argomentare congetturare e dimostrare
Livello di difficoltà
L'esercizio ha un livello di difficoltà alto, risultà già medio per un primo anno di superiori e spesso viene risolutorisolvendo un sistema di equazioni a due incognite
Sostranzialmente non presenta grosse difficoltà di calcoli nella risoluzione, più complesso risulta scrivere il problema in termini di equazioni. 
I ragazzi dovrebbero sapere che un numero tipo 56 può essere scritto come 5 volte 10 + 6 volte 1
Possibili soluzioni e soluzione attesa
La scrittura dei dati può essere molto complessa
incognita x = cifra unità o decine
sOLUZIONI ERRATE PROBABILI
Escludendo un fallimento della soluzione le possibili soluzioni errate attese potrebbero essere
1)
x+3 x-x x+3=27   o analoga x x-3 – x-3 x =27
Questa soluzione è già più avanzata perchè prevede che il ragazzo abbia capito che può scrivere la soluzione in termini di una sola incognita, ha interpretato correttamente il testo ma non sa scrivere la cifra delle decine, probabilmente semplificherà x con – x e giungerà alla soluzione 2x=21 (0 2x=33)e risolverà x=21/2 o x=33/2
decine + unità + 3 – unità + decine =27
scrittura ottenuta dall'interpretazione del testo
x+ 3 + x – (x+x+3) =27
che porta come soluzione 0027, si ottiene scrivendo il numero come somma  delle sue cifre
 
soluzione per tentativi
i ragazzi possono provare tutti i numeri del tipo 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96 fino a giungere alla soluzione esatta che sono tutti i numeri
Soluzione attesa 
i ragazzi dovrebbero scrivere il numero come decina= unità+3
potrebbero scegliere come incognita l'unità (più probabile) o la decina come incognita  e scrivere
x= cifra unità
x+3= cifra decine
il numero si scrive come 
10(x+3) + x
scambiamo le cifre delle decine e delle unità
il numero diventa
x+3= cifra unità
x= cifra decine
il numero si scrive
10(x)+x+3
sottraiamo le due cifre e otteniamo 27
10(x+3)+x-10x-x-3 =27 (la scrittura come sottrazione potrebbe portare ad errori di segno specie sul -x-3 che potrebbe essere scritto come +x+3)
l'esercizio si rivela anche qui di livello medio alto
moltiplicando per 10
si ottiene
10x+30+x-10x-x-3=27
cioè 0x=0
la soluzione è indeterminata
ovvero qualsiasi numero la cui cifra delle decine supera di 3 quelle delle unità sotratta al numero scambiano le cifre dà per risultato 27
 
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