L’articolo in questione non vuole essere semplicemente una digressione sulla matematica e sui numeri, ma è prima di tutto un percorso educativo fatto con i miei alunni di prima Liceo Scientifico, il taglio sarà divulgativo, ma non troppo, anche se manterrà nel prodotto finale tutta la freschezza e l'allegria dei ragazzi di 14 anni. Durante questo viaggio incontreremo personaggi illustri, congetture affascinanti e conseguenze bizzarre, ma soprattutto ascolteremo la musica dell'Universo celata tra le corde della Matematica!!
Cosa sono i numeri primi?
A livello scolastico ci hanno sempre insegnato che i numeri primi sono quei numeri che sono divisibili solo per se stessi e per uno. In base a questa definizione il numero 1 è primo, mentre 2 è l’unico numero primo pare. Eppure per motivi che saranno chiari leggendo questo articolo conviene escludere 1 dai numeri primi, ed accettiamo la seguente definizione:
Un intero positivo n si dice primo se ha esattamente due divisori positivi.
I numeri primi sono un universo affascinante.
Ad esempio ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come la somma di due numeri primi (congettura di Goldbach).
I numeri primi sono infiniti e la prima dimostrazione si deve ad Euclide.
I numeri primi sono alla base dell’aritmetica fin dalla primaria, in quanto ogni numero non primo può essere scomposto come prodotto di numeri primi con potenze opportune.
17 è un numero primo ma anche 17+2 =19 lo è, ebbene esistono infiniti numeri primi tali per cui se p è un numero primo anche p+2 lo è (primi gemelli).
Tra un numero primo maggiore di 1 ed il suo doppio esiste almeno un numero primo (Postulato di Bertrand).
Il numero primo più grande ha oltre 22 milioni di cifre.
Come generare i numeri primi?
Un algoritmo per determinare quali sono primi è una delle applicazioni di coding più interessanti. Ne avevo già parlato qui Il coding, da Scratch a Python passando per i numeri primi!
Uno dei metodi più semplici è dovuto ad Eratostene e l’algoritmo omonimo è detto metodo del setaccio o del crivello di Eratostene. In sostanza dato un numero n lo si divide per tutti i suoi precedenti e se il resto è zero, allora non è primo, altrimenti lo è. In generale se n è il numero, i numeri divisori vanno ricercati al più nella sua parte intera della radice di n (ma questi dettagli….li lascio al lettore appassionato).
Ha senso quindi parlare di numeri primi e di coding.
Una applicazione dell’algoritmo di Eratostene con Scratch può essere svolta fin dalla Secondaria di Primo grado ma esistono altri algoritmi per i numeri primi e quali le loro “velocità”?
Ecco un interessante confronto tra due diversi algoritmi per i numeri primi.
https://scratch.mit.edu/projects/17339834/
https://scratch.mit.edu/projects/94591835/
E che dire dei numeri primi gemelli?
https://scratch.mit.edu/projects/94623568/
Sulla Congettura di Goldbach e su quante possibilità (partizioni) può essere scritto un numero non primo, vi consiglio i 2 miei seguenti progetti
https://scratch.mit.edu/projects/94542966/
https://scratch.mit.edu/projects/94495659/
Da buon fisico mi preme capire se esistono delle regolarità tra i numeri primi, ovvero se è possibile determinare attraverso una formula quali sono i numeri primi.
Sempre con Scratch è possibile studiare le eventuali regolarità, tracciando un grafico della differenza tra un numero primo ed il suo precedente numero primo, per capire se tali differenze sono periodico, mostrano regolarità o altro.
https://scratch.mit.edu/projects/94560575/
E se tracciassimo un poligono spirale che ha la lunghezza di ogni lato quanto un numero primo?
Eccolo
https://scratch.mit.edu/projects/94545239/
Oppure a cosa tende il rapporto tra un numero primo ed il suo precedente?
https://scratch.mit.edu/projects/94545353/
Insomma a questo punto uno si potrebbe chiedere ma perché i numeri primi sono così importanti? E perché è fondamentale cercare di capire quali sono?
Prima di rispondere presentiamo un altro grande matematico che si è confrontato con i numeri primi: Riemann.
In sostanza Riemann ha ipotizzato che esiste una funzione (molto “complessa” a dir la verità!), i cui zeri, ovvero i punti in cui si annulla, sono esattamente i numeri primi. La storia inizia con Eulero e trovate un’ampia digressione a questo link
https://seipernove42.wordpress.com/problemi-di-hilbert/lipotesi-di-riemann/
Ad oggi non esiste alcuna dimostrazione della congettura di Riemann, ma esiste una funzione detta di gauss che la approssima.
Alla base di tale funzione vi è l’approssimazione che l’n-simo numero primo sia approssimato dalla formula n*ln(n)
La differenza tra la Funzione di Gauss e quella di Riemann ha un andamento sinusoidale…insomma una melodia….è questa melodia che i miei alunni hanno determinato semplicemente facendo suonare la differenza tra la funzione di Riemann e quella di Gauss.
Cosa aspettate? Ascoltate in anteprima mondiale la musica dell’universo, ovvero i segreti dei numeri primi… (grazie al mio alunno Marco Voltan…avevamo partecipato con questo progetto allo Scratch festival Italiano, ma non sempre si vince…):
https://scratch.mit.edu/projects/105687079/
Ah dimenticavo: ma perché i numeri primi sono così importanti?
Semplicemente perché l’attuale crittografia RSA è basata sui numeri primi e determinare la funzione che trova i numeri primi farebbe saltare tutte le comunicazioni attuali segrete e qualsiasi transazione bancaria non avrebbe senso, in pratica è come avere in tempo reale il codice segreto di tutte le comunicazioni.
Il futuro secondo molti è nella Meccanica Quantistica, anzi nella crittografia quantistica e forse il mistero dei numeri primi si cela persino nella Teoria delle Stringhe…ma questa è un’altra storia!
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